Recientemente, el renombrado matemático Terence Tao reconoció algo notable: una inteligencia artificial —en este caso, GPT-5.2— detectó un error sutil pero importante en unos de los pasos de su razonamiento matemático.
Tao explicó que GPT-5.2 había señalado un problema con un signo (positivo/negativo) en un cálculo que involucraba números primos, una parte esencial de su argumento. Aunque puede parecer un detalle menor, este tipo de errores puede invalidar resultados complejos si no se corrige.
En 1973, el matemático húngaro Paul Erdős planteó el problema 783: una pregunta aparentemente sencilla sobre cómo elegir ciertos números para “cubrir” la mayor cantidad posible de enteros mediante divisibilidad.
En términos simples, el problema plantea lo siguiente:
Imaginemos todos los números del 1 hasta N.
Elegimos un conjunto especial de números que no comparten factores entre sí (es decir, son coprimos dos a dos). Cada número de nuestro conjunto actúa como un filtro: todos sus múltiplos quedan “marcados”.
La pregunta es: ¿Cómo elegir ese conjunto para que queden la menor cantidad posible de números sin marcar, bajo una restricción adicional?
Esa restricción es técnica pero importante: la suma de los recíprocos de los números elegidos (1/n) no puede superar una constante fija. Es una manera de evitar que el conjunto crezca sin control.
La intuición original de Erdős
Erdős sospechaba que la estrategia óptima consistía en elegir números primos grandes, comenzando por los mayores posibles y descendiendo hasta que la suma de sus inversos alcanzara el límite permitido.
¿Por qué primos?
Porque los primos son los “átomos” de los números enteros. Usarlos como filtros permite cubrir muchos múltiplos sin introducir redundancias.
Pero Erdős no dejó una demostración completa. El problema quedó abierto.
El avance de Hildebrand
En 1987, el matemático Adolf Hildebrand demostró que, bajo ciertas condiciones, la intuición de Erdős era esencialmente correcta desde un punto de vista asintótico: cuando N crece mucho, elegir primos grandes efectivamente minimiza la cantidad de números que sobreviven al filtrado.
En ese análisis aparece una función llamada “función de Dickman”, que permite estimar cuántos números tienen factores primos “pequeños” o “grandes”. Es una herramienta sofisticada de la teoría de números, pero lo relevante es que confirmó parte de la conjetura original.
Aun así, el problema en su forma más general no quedó completamente cerrado.
Un episodio reciente: Tao y GPT-5.2
Décadas después, el problema volvió a discutirse en el foro de erdosproblems. En un intercambio reciente, el matemático Terence Tao revisó argumentos relacionados con el caso de “primos pequeños”. Durante ese proceso, ocurrió algo interesante: GPT-5.2 detectó un error de signo en uno de los pasos técnicos del cálculo.
En matemáticas avanzadas, un simple signo mal colocado puede invalidar toda una cadena de desigualdades. No se trataba de un error conceptual profundo, sino de un detalle técnico crítico.
Tao reconoció la observación y volvió a revisar el argumento, apoyándose nuevamente en una técnica de Hildebrand basada en la concavidad logarítmica de la función de Dickman para corregir el razonamiento.
«Ah, GPT tiene razón. Hay un error de signo fatal en la forma en que intenté manejar los primos pequeños. No había soluciones obvias, así que terminé consultando el artículo de Hildebrand para ver cómo manejaba los primos pequeños, y resultó que podía hacerlo usando una desigualdad simple ρ(u1)ρ(u2)≥ρ(u1u2) para la función de Dickman (una consecuencia de la concavidad logarítmica de esta función). Usando esto e implementando las simplificaciones anteriores, ahora tengo un argumento reparado», dijo TerenceTao en el foro.
El hilo en Erdős Problems está activo con comentarios de matemáticos profesionales (incluyendo a Terence Tao) que discuten avances y enfoques, pero el problema como tal sigue abierto (no hay solución completa que cierre la cuestión definitivamente).
El problema no fue resuelto por la IA. Pero la IA sí actuó como un revisor extremadamente atento.
